{"id":9756,"date":"2020-04-06T12:05:28","date_gmt":"2020-04-06T15:05:28","guid":{"rendered":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/?page_id=9756"},"modified":"2020-04-18T13:39:27","modified_gmt":"2020-04-18T16:39:27","slug":"indices-de-miller","status":"publish","type":"page","link":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/materiais-eletricos-e-magneticos\/estrutura-da-materia\/arrumacao-dos-elementos-basicos\/cristais\/indices-de-miller\/","title":{"rendered":"\u00cdndices de Miller"},"content":{"rendered":"
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A Figura 1 apresenta cristais com formas geom\u00e9tricas diferentes das sete apresentadas anteriormente, e algumas dessas formas encontram-se na Figura 2. O corte ou crescimento dos cristais em determinados planos explicam estas novas formas. Mas como definir precisamente a enorme quantidade de planos poss\u00edveis?<\/span><\/p>\n

Em 1839, o mineralogista Wiliam Miller<\/a> criou um sistema para designar de forma precisa todos os planos.<\/span><\/p>\n

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Figura 1. Formas de Cristais<\/figcaption><\/figure>\n
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Figura 2. Formas Geom\u00e9tricas de Cristais<\/figcaption><\/figure>\n

Os Planos Cristalinos<\/strong> s\u00e3o planos paralelos, peri\u00f3dicos, e fict\u00edcios que unem pontos da Rede Cristalina, conforme mostra a Figura 3. <\/span><\/p>\n

Como teoricamente as redes cristalinas s\u00e3o infinitas, existem infinitos planos, mas observa-se que existem finitas fam\u00edlias de planos.<\/span>1<\/sup><\/a><\/span><\/span><\/p>\n

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Figura 3. Planos Cristalinos<\/figcaption><\/figure>\n

 <\/p>\n

Os \u00cdndices de Miller<\/strong><\/a>, formados por conjuntos de tr\u00eas n\u00fameros inteiros (h,k,l<\/em>), foram criados para designar de forma universal as fam\u00edlias de planos. Estes n\u00fameros representam em quantas vezes o plano divide os lados da c\u00e9lula unit\u00e1ria nas dire\u00e7\u00f5es a,b,c<\/em>.<\/span><\/p>\n

A Figuras 3 permite visualizar melhor este conceito. <\/span>Nela aparecem os tr\u00eas casos simples e b\u00e1sicos, onde a dist\u00e2ncia entre planos coincide com o tamanho da c\u00e9lula e o eixo c<\/em> encontra-se perpendicular ao plano da figura e, por isso, n\u00e3o aparece. Observa-se que h<\/em> torna-se 1 quando o plano \u00e9 perpendicular \u00e0 dire\u00e7\u00e3o a\u00a0<\/em>e zero quando paralelo. Isto contraria um pouco a no\u00e7\u00e3o vetorial, mas todo o mundo da Cristalografia o adota.<\/span><\/p>\n

No caso de planos paralelos inclinados com rela\u00e7\u00e3o \u00e0 c\u00e9lula unit\u00e1ria, passam a existir valores para h<\/em> e k<\/em>[efn-note] e l<\/em> se o eixo c estiver presente.[\/efn_note]<\/span><\/p>\n

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Figura 3. \u00cdndices de Miller<\/figcaption><\/figure>\n

A Figura 4 mostra exemplos com dist\u00e2ncias entre os planos menores, que possuem duas possibilidades de orienta\u00e7\u00e3o relativa. Em ambos os casos, os planos dividem o eixo b<\/em> em duas partes e o eixo a<\/em> em uma, logo a nota\u00e7\u00e3o de ambos deveria ser (120). Por\u00e9m, os planos s\u00e3o claramente distintos e devem possuir representa\u00e7\u00f5es diferentes, um deles dever\u00e1 ter uma coordenada negativa<\/span>2<\/sup><\/a><\/span> e o outro positiva.<\/span><\/p>\n

Para solucionar esta quest\u00e3o, adotou-se a conven\u00e7\u00e3o de considerar o ponto verde na figura como refer\u00eancia. A escolha deste ponto resulta em coordenadas positivas para todos os outros pontos da c\u00e9lula. Para determinar o sinal do \u00edndice k<\/em>, considere um outro plano que corte o eixo a<\/em> da c\u00e9lula de refer\u00eancia escolhida, se este plano cortar o eixo b\u00a0<\/em>na parte positiva, o \u00edndice k<\/em> ser\u00e1 positivo. No caso deste plano cortar o eixo b<\/em> na parte negativa, o \u00edndice k<\/em> ser\u00e1 negativo conforme mostra a Figura 4.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 4. \u00cdndices de Miller<\/figcaption><\/figure>\n

Desta maneira, as formas apresentadas na Figura 2 podem ser interpretadas como conjuntos de C\u00e9lulas Unit\u00e1rias cortadas por planos identificados pelos \u00cdndices de Miller.<\/span><\/p>\n

Apenas como ilustra\u00e7\u00e3o, a Figura 5 apresenta alguns planos com seus respectivos \u00cdndices de Miller. <\/span><\/p>\n

Observa-se que os \u00edndices permanecem n\u00fameros inteiros quando cortam os eixos em dist\u00e2ncias inferiores a 1 e deveriam ser n\u00fameros fracion\u00e1rios no caso de cortarem os eixos em dist\u00e2ncias superiores a um. Neste segundo caso, os \u00edndices passariam a ser n\u00fameros decimais com muitos algarismos significativos. Para fugir desta quest\u00e3o, determina-se o MMC dos \u00edndices fracion\u00e1rios e utiliza-se apenas os numeradores como \u00edndice, conforme mostra o plano rosa da Figura 5.<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 5. \u00cdndices de Miller Tridimensionais<\/figcaption><\/figure>\n

Dire\u00e7\u00f5es<\/h3>\n

Conforme veremos no cap\u00edtulo Classes Cristalinas<\/a>, a identifica\u00e7\u00e3o de dire\u00e7\u00f5es e coordenadas torna-se necess\u00e1ria na Cristalografia.\u00a0<\/span><\/p>\n

At\u00e9 agora, sempre foi poss\u00edvel utilizar o sistema de refer\u00eancia ortogonal a,b,c para definir os planos cristalinos. Contudo, isto nem sempre ocorre.\u00a0<\/span><\/p>\n

Por exemplo, a Figura 6 apresenta o plano (000)<\/span>3<\/sup><\/a><\/span> de\u00a0 uma rede cristalina tridimensional formada pelos pontos verdes montada no sistema de refer\u00eancia abc. Considerando o cristal hexagonal, representado pelo hex\u00e1gono azul na Figura 6, torna-se conveniente definir as dire\u00e7\u00f5es dos vetores azuis. Para isso, utiliza-se o par\u00eanteses -[]- delimitando as coordenadas da dire\u00e7\u00e3o ou vetor. A nota\u00e7\u00e3o do novo sistema de coordenadas, formado pelos tr\u00eas vetores azuis, utiliza os s\u00edmbolos menor e maior – <>- para simplificar a nota\u00e7\u00e3o, no caso <210><\/span>4<\/sup><\/a><\/span> .<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a>
Figura 6. Dire\u00e7\u00f5es na rede cristalina<\/figcaption><\/figure>\n

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A Figura 1 apresenta cristais com formas geom\u00e9tricas diferentes das sete apresentadas anteriormente, e algumas dessas formas encontram-se na Figura 2. O corte ou crescimento dos cristais em determinados planos explicam estas novas formas. Mas como definir precisamente a enorme quantidade de planos poss\u00edveis? Em 1839, o mineralogista Wiliam Miller criou um sistema para designar […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":9479,"parent":2519,"menu_order":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","template":"templates\/template-full-width.php","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","footnotes":""},"class_list":["post-9756","page","type-page","status-publish","has-post-thumbnail","hentry"],"uagb_featured_image_src":{"full":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1.png",1200,280,false],"thumbnail":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1-150x150.png",150,150,true],"medium":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1-300x70.png",300,70,true],"medium_large":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1-768x179.png",580,135,true],"large":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1-1024x239.png",580,135,true],"1536x1536":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1.png",1200,280,false],"2048x2048":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1.png",1200,280,false],"post-thumbnail":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1.png",1200,280,false],"twentytwenty-fullscreen":["https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-content\/uploads\/2020\/03\/cristais_1.png",1200,280,false]},"uagb_author_info":{"display_name":"admin","author_link":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/author\/admin\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"A Figura 1 apresenta cristais com formas geom\u00e9tricas diferentes das sete apresentadas anteriormente, e algumas dessas formas encontram-se na Figura 2. O corte ou crescimento dos cristais em determinados planos explicam estas novas formas. Mas como definir precisamente a enorme quantidade de planos poss\u00edveis? Em 1839, o mineralogista Wiliam Miller criou um sistema para designar…","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/9756","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/types\/page"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=9756"}],"version-history":[{"count":18,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/9756\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":40028,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/9756\/revisions\/40028"}],"up":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/pages\/2519"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media\/9479"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.antonioguilherme.web.br.com\/blog\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=9756"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}