Grupos<\/h3>\n
A Teoria de Grupos<\/strong> fornece os conceitos matem\u00e1ticos necess\u00e1rios para o estudo da Simetria aplicada \u00e0 Ci\u00eancia dos Materiais.<\/span><\/p>\n Grupos<\/strong> consistem em conjuntos de Elementos<\/strong> sujeitos a determinados crit\u00e9rios e que se relacionam de acordo com regras espec\u00edficas denominadas Opera\u00e7\u00f5es – *<\/strong>. Define-se Ordem do Grupo<\/strong> como sendo\u00a0 n\u00famero de Elementos<\/span>1<\/sup><\/a><\/span> do Grupo e e<\/span>xistem as seguintes\u00a0 propriedades para que um conjunto possa formar um Grupo:<\/span><\/p>\n Os Grupos podem possuir um n\u00famero de Elementos e Opera\u00e7\u00f5es finito ou infinito.<\/span><\/p>\n Grupos Espaciais<\/strong> representam um caso particular de Grupos de Transforma\u00e7\u00e3o de Coordenadas que preservam o comprimento<\/span>4<\/sup><\/a><\/span>.\u00a0<\/span><\/p>\n A Equa\u00e7\u00e3o 4 representa uma transforma\u00e7\u00e3o de coordenadas linear gen\u00e9rica.\u00a0<\/span><\/p>\n Onde:<\/span><\/p>\n Para que a transforma\u00e7\u00e3o da Equa\u00e7\u00e3o 4 preserve o comprimento, a matriz R e o vetor T devem ser reais e a matriz R ortogonal<\/span>5<\/sup><\/a><\/span> e o vetor T tamb\u00e9m deve ser real.<\/span><\/p>\n Toda matriz ortogonal pode ser escrita da seguinte maneira ap\u00f3s a transforma\u00e7\u00e3o unit\u00e1ria com outra matriz ortogonal:<\/span><\/p>\n Geometricamente, esta matriz representa uma transforma\u00e7\u00e3o de coordenadas onde x1<\/sub> se mant\u00e9m constante<\/span>6<\/sup><\/a><\/span>\u00a0<\/span><\/p>\n Existem dois conceitos b\u00e1sicos na Teoria de Grupos:<\/span><\/p>\n Os Elementos consistem no conjunto de objetos matem\u00e1ticos nos quais as opera\u00e7\u00f5es podem ser aplicadas.<\/span><\/p>\n Normalmente, mais de uma opera\u00e7\u00e3o pode ser aplicada num mesmo elemento. Por exemplo, as rota\u00e7\u00f5es de qualquer m\u00faltiplo inteiro de 90 graus num cubo produz um elemento indistingu\u00edvel do original.<\/span><\/p>\n <\/p>\n Opera\u00e7\u00f5es s\u00e3o fun\u00e7\u00f5es matem\u00e1ticas que transformam geometricamente os elementos num elemento indistingu\u00edvel do original. Por exemplo, a rota\u00e7\u00e3o de 90 graus de um cubo produz outro cubo absolutamente igual ao cubo original.<\/span><\/p>\n O Elemento consiste no objeto geom\u00e9trico, ponto, linha, plano, ou figura no qual a opera\u00e7\u00e3o \u00e9 aplicada. Normalmente, mais de uma opera\u00e7\u00e3o pode ser aplicada num mesmo elemento. Por exemplo, as rota\u00e7\u00f5es de qualquer m\u00faltiplo inteiro de 90 graus num cubo produz um elemento indistingu\u00edvel do original.<\/span><\/p>\n As opera\u00e7\u00f5es de simetria relativos a objetos macrosc\u00f3picos s\u00e3o:<\/span><\/p>\n A Identidade existe para todos os objetos, mesmo os assim\u00e9tricos, porque todos equivalem a eles mesmos. Por exemplo, a rota\u00e7\u00e3o de qualquer objeto de 360 graus produz outro elemento id\u00eantico. O conceito de Identidade constitui um conceito fundamental da matem\u00e1tica, que estabelece que x,y,z = x,y,z.<\/span><\/p>\n Espelhamento plano, reflex\u00e3o plana, simetria especular, ou simetria de reflex\u00e3o ocorre quando a sua imagem num espelho plano permanece id\u00eantica \u00e0 original. Matematicamente, a transforma\u00e7\u00e3o y’=y, z’=z, x’=-x representa a reflex\u00e3o em rela\u00e7\u00e3o ao plano yz.<\/span><\/p>\n Se voltarmos ao exemplo do papel de parede – Figura 1 – observamos que planos verticais, horizontais e com inclina\u00e7\u00f5es de \u00b1 45 graus funcionam com espelhos para esta figura.\u00a0<\/span><\/p>\n A Figura 2 apresenta outros exemplos de Espelhamento Plano. Observa-se que o n\u00famero de Elementos depende da simetria<\/em> da figura, e o c\u00edrculo\/esfera possui infinitos Elementos.<\/span><\/p>\n Os planos que dividem os Tri\u00e2ngulos em dois tri\u00e2ngulos ret\u00e2ngulos realizam espelhamento plano, assim como os planos ortogonais no quadrado. O mesmo ocorre com os planos defasados de 120 graus no Hex\u00e1gono.<\/span><\/p>\n A simetria rotacional existe quanto a rota\u00e7\u00e3o da figura de determinados \u00e2ngulos a deixa indistingu\u00edvel, e convencionou-se designar a rota\u00e7\u00e3o por n quando o \u00e2ngulo de rota\u00e7\u00e3o for 360\u00b0 \u00f7n. A Figura 2 exemplifica tamb\u00e9m este elemento. Por exemplo, o tri\u00e2ngulo is\u00f3sceles apresenta uma simetria rotacional de 2, e assim por diante.\u00a0<\/span><\/p>\n \u00c9 importante apontar que a Simetria Rotacional pode existir simultaneamente, ou n\u00e3o, com Espelhamento Plano. Por\u00e9m, qualquer par de Planos de Espelhamento ortogonais geram uma Simetria Rotacional de ordem 2.<\/span><\/p>\n Contudo, no caso espec\u00edfico da Cristalografia, apenas existem os casos de Simetria Rotacional\u00a0 2,3,4 e 6. Contudo, existem simetrias de ordem 5,7, etc, em algumas mol\u00e9culas isoladas, e alguns agregados s\u00f3lidos podem apresentar Simetria Rotacional de ordem 5<\/span>7<\/sup><\/a><\/span>.<\/span><\/p>\n O Centro de Invers\u00e3o, origem de simetria ou ponto de simetria consiste no ponto cuja dist\u00e2ncia \u00e0s outras partes similares da figura se mant\u00eam constante. Por exemplo, no caso do papel de parede, os centros das duas figuras s\u00e3o pontos de simetria. Matematicamente, se definirmos o Centro de Invers\u00e3o como a origem do sistema de coordenadas, teremos que todo ponto x,y,z ser\u00e1 indistingu\u00edvel do ponto -x,-y,-z. Outra forma de visualizar este conceito consiste em imaginar o Centro de Invers\u00e3o como um espelho pontual que reflete todos os pontos da forma geom\u00e9trica.\u00a0<\/span><\/p>\n Para ilustrar melhor, a Figura 3 compara o Espelhamento Plano com o Centro de Invers\u00e3o para uma mesma figura.<\/span><\/p>\n A Rotoinvers\u00e3o consiste de dois elementos aplicados em sequ\u00eancia; uma Simetria Rotacional 360\u00ba\/n seguida por um Centro de Invers\u00e3o, localizada no eixo de Rotoinvers\u00e3o. A realiza\u00e7\u00e3o de duas opera\u00e7\u00f5es em sequ\u00eancia pode ou n\u00e3o gerar uma nova simetria.<\/span><\/p>\n Por exemplo, a Figura 3 apresenta a Rotoinvers\u00e3o de n=1 para um ponto<\/span>8<\/sup><\/a><\/span>. Inicialmente existe uma rota\u00e7\u00e3o de 360 graus e, em seguida uma Centro Invers\u00e3o com rela\u00e7\u00e3o ao ponto de simetria. Observa-se que este resultado equivale a um Centro Invers\u00e3o simples porque a rota\u00e7\u00e3o de 360 equivale a uma Identidade. Por isso, a Rotoinvers\u00e3o n=1 n\u00e3o constitui uma nova simetria.<\/span><\/p>\n Analogamente, a Figura 4 apresenta a Rotoinvers\u00e3o para n=2, que equivale ao Espelhamento Plano. Tamb\u00e9m , neste caso, a Rotoinvers\u00e3o n=2 n\u00e3o representa uma nova simetria.<\/span><\/p>\n A Figura 5. mostra a Rotinvers\u00e3o n=3, uma rota\u00e7\u00e3o de 120 graus seguida de uma ponto invers\u00e3o. Neste caso obtemos uma nova simetria. <\/span><\/p>\n A Figura 6 apresenta a Rotoinvers\u00e3o n=4, que consiste numa rota\u00e7\u00e3o de 90\u00ba seguida de uma ponto invers\u00e3o, configurando tamb\u00e9m uma nova simetria.<\/span><\/p>\n Finalmente, chegamos na \u00faltima Rotoinvers\u00e3o poss\u00edvel em cristais – n = 6, que consiste num rota\u00e7\u00e3o de 60\u00ba seguida de uma ponto invers\u00e3o, conforme mostra a Figura 7.<\/span><\/p>\n Historicamente, a Cristalografia se desenvolveu paralelamente \u00e0 qu\u00edmica apesar dos conceitos de simetria serem conceitos matem\u00e1ticos \u00fanicos.<\/span><\/p>\n Carl Hermann<\/a>, cristalografista alem\u00e3o desenvolveu com Charles Mauguin<\/a>, mineralogista franc\u00eas, a nota\u00e7\u00e3o cristalogr\u00e1fica, denominada Hermann-Mauguin<\/a>, aceita internacionalmente a partir de 1935 e utilizada no cap\u00edtulo Simetrias<\/a><\/span><\/p>\n\n
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Identidade -E<\/h3>\n
Espelhamento Plano- m<\/h3>\n
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<\/a>Simetria Rotacional- n<\/h3>\n
Centro de Invers\u00e3o – i<\/h3>\n
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<\/a>Rotoinvers\u00e3o – \u203en<\/h3>\n
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