Perguntas


  1. Você prefere receber R$100,00 hoje ou R$100,00 no próximo mês?
  2. Você prefere receber R$100,00 hoje ou R$110,00 no próximo mês?
  3. Você prefere ganhar R$1.000,00 hoje ou R$1.100,00 no próximo ano?
  4. Você prefere comprar uma televisão por R$1.000,00 à vista ou em 10 prestações mensais de R$100,00?
  5. Você prefere comprar uma televisão por R$1.000,00 à vista ou em 10 parcelas mensais de R$11,00?
  6. Suponha que você tenha R$1.000,00 aplicados na caderneta de poupança. Neste caso, você preferiria comprar a televisão à vista ou pagar 10 prestações de R$ 102,77?
  7. Suponha que você tenha os mesmos R$1000,00 aplicados na caderneta de poupança. Você os emprestaria para seu colega de turma se ele prometesse pagar o empréstimo em 10 parcelas mensais de R$105,00?
  8. Imagine que você ganhou R$ 1.000.000,00 na Megasena.
    • Você compraria a casa dos seus sonhos por este preço ou a alugaria por R$30.000,00 mensais?
    • Você investiria todo o dinheiro para ganhar eternamente R$ 10.000,00 por mês ou preferiria receber R$20.000,00 por mês durante 1 ano?

História dos Juros


A instituição do empréstimo é anterior à criação da moeda.

Os Sumérios, no ano 3000 A.C., possuiam um sistema de crédito baseado em volume de grãos e peso de metais que já utilizavam o conceito de juros, taxa de interesse ou taxa de desconto.

A história detalhada das taxas de juros pode ser encontrada no livro de Sidney Homer e Richard Sylla, History of Interest Rates, 4 edição, John Wiley & Sons, 2005.

Bases de Tempo


i% a.a (ao ano)

i% a.s (ao semestre)

i% a.m (ao mês)

i% a.d (ao dia)

Conversão

Exemplos


 

 

Referências


  • Puccini, A.L., Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, Editora Saraiva, 1999.
  • Damoradan, A., Investment Valuation - Tools and Techniques for Determining the Value of Any Asset, 3 edição, Wiley, 2012.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Capítulos

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Introdução


Independentemente da profissão, a matemática financeira é básica para a vida cotidiana de todos nós.

Ela serve tanto para o milionário decidir o melhor investimento de bilhões como para o cidadão comum verificar se a prestação cobrada na compra de um eletrodoméstico deve ser aceita ou não.

Contudo, por razões obscuras, seu ensino é limitado aos cursos de nível superior relacionados à área de finanças.

Até mesmo nos cursos de engenharia, ela muitas vezes não tem mais sido ensinada.

A matemática financeira não requer conhecimento prévio de cálculo diferencial e ou integral e poderia fazer parte do ensino médio.

O princípio básico da matemática financeira é o conceito do valor do dinheiro no tempo.

Todos nós conhecemos intuitivamente este princípio.

A figura abaixo apresenta o conceito de valor futuro do dinheiro.

Quanto maior o tempo maior o valor futuro do dinheiro mas como medir a velocidade deste aumento?

 

 

Esta velocidade poderia ser expressa em $/ano ou em $/mês, onde $ pode ser qualquer unidade monetária.

No entanto, dependendo do valor inicial, esta velocidade teria um valor relativo diferente.

Por isso, esta velocidade é normalizada tendo como base a quantidade de dinheiro existente no instante de referência, que pode ser qualque umr. A escolha do tempo de referência dependerá da situação específica.

Se, no caso da figura anterior, a velocidade de aumento do valor do dinheiro fosse de R$100,00 por ano, a velocidade normalizada seria de 10% ao ano.

Portanto, o conceito de velocidade de aumento de valor depende do tempo considerado, da mesma forma que o valor numérico da velocidade de um carro depende da unidade de tempo utilizada.

Portanto, o valor futuro é igual ao valor inicial mais o incremento relativo à velocidade de aumento.

Neste momento surge o primeiro conflito de interesses.

Quando investimos nosso capital, queremos a maior velocidade de crescimento possível.

Por outro lado, quando pegamos capital emprestado, queremos a menor velocidade de crescimento possível.

Como o dinheiro é uma mercadoria escassa, podemos aplicar as leis de oferta e procura da economia e, consequentemente, esta velocidade de crescimento de capital será determinada pelas condições de mercado.

A velocidade de crescimento de capital é chamada de taxa de juros, em operações de empréstimo, ou de taxa de retorno, em operações de investimento.

A matemática financeira se aplica a ambas e, em função disso, chama-se de juros a velocidade de crescimento de capital independentemente da operação. Isto pode causar confusão em alguns casos.

Valor Futuro


Portanto, o valor futuro está relacionado com o valor presente da seguinte maneira:

(1)

Onde:

  • Vf é o valor futuro[$];
  • Vp é o valor presente[$];
  • i é a taxa de juros(pu);

Esta expressão só é válida quando a taxa de juros tem como base a mesma unidade de tempo do valor futuro.

Isto significa que a taxa de juros, normalmente expressa em percentual, precisa conter a informação da base de tempo.

Quando isto não é verdade, surge a questão da capitalização dos juros, conforme mostra a figura abaixo.

 

 

O valor futuro 2 pode ser calculado, supondo a taxa de juros constante, a partir da expressão (1) da seguinte maneira:

Analogamente, o valor futuro no período n, supondo a taxa de juros constante, pode ser escrito da seguinte maneira:

(2)

Esta expressão considera a aplicação de juros compostos e é universalmente utilizada mas ainda causa muitos problemas políticos.

A quantidade de juros normalizados em relação ao valor presente paga neste sistema é dada por:

Observamos que os juros pagos crescem exponencialmente com o número de períodos de capitalização.

Valor Presente


A partir da expressão (2), podemos escrever que o valor presente será dado por:

(3)

Sistema de Pagamentos Uniformes


O sistema e pagamentos ou recebimentos periódicos é muito utilizado na prática.

Neste sistema, conforme mostra a figura abaixo, pagamentos são feitos ou recebidos com a mesma periodicidade durante um total de n períodos. A questão é determinar o valor futuro e o valor presente deste fluxo de caixa.

 

Aplicando a expressão(2), teremos que:

(4)

Se multiplicarmos ambos os lados da equação por (1+i), teremos que:

(5)

Subtraindo a expressão (5) da (4), teremos que:

(6)

Consequentemente, o valor presente será dado pela aplicação da relação (3):

(7)

 

Normalização


Todas as expressões acima têm dimensão de unidades monetárias $.

No entanto, em muitos casos é mais conveniente trabalhar com estas expressões normalizadas.

A questão é a escolha da base. Qualquer um dos valores - Vf, Vp ou Pmt - podem ser utilizados como base.

Contudo, para as aplicações de geração de energia, que envolvem investimentos elevados, utiza-se normalmente o valor presente como base. Neste caso, as equações serão escritas da seguinte maneira:

 

Análise de Viabilidade de Projetos


O grande problema da análise de projetos e/ou da tomada de decisão de investimentos é a comparação entre as possíveis opções.

Por exemplo:

  • É melhor construir uma hidrelétrica ou uma termelétrica?
  • Qual o investimento máximo que podemos fazer para um determinado investidor?
  • Dado o valor do investimento necessário para a construção de uma usina, qual deve ser o preço da energia vendida?

Os conceitos de valor presente líquido, taxa de desconto e equivalência de fluxos de caixa são conceitos relacionados.

Valor Presente Líquido

Valor Presente Líquido - VPL - de um fluxo de caixa é o valor monetário equivalente de todo o fluxo no instante de tempo atual ou no início do empreendimento.

Para calcular este valor é necessário somar as receitas líquidas futuras descontadas para o valor presente com uma deterninada taxa de desconto.

As receitas líquidas são as receitas menos as despesas em determinado intervalo de tempo.

A taxa de desconto não é a taxa de juros cobrada pelo banco para emprestar dinheiro para o projeto e/ou investidor.

A taxa de desconto está relacionada com a taxa de lucratividade do projeto, tem de ser maior do que a taxa de juros do empréstimo e depende do investidor.

A escolha da taxa de desconto é extremamente importante porque, dependendo dela, determinado projeto passará a ser prioritário com relação a outro.

Onde:

  • Vpl é o valor presente líquido;
  • Fc é o fluxo de caixa no tempo t;
  • i é a taxa de desconto;
  • n é o período de tempo.

O cálculo do VPL é simples e pode ser feito manualmente com uma calculadora.

A grande questão é; qual a taxa de desconto que devemos utilizar?

A resposta para esta pergunta não é simples e depende do investidor que pretende fazer o projeto.

De uma maneira geral, a taxa a ser utilizada deve ser maior do que a taxa de retorno dos investimentos seguros disponíveis para este investidor. Porém, não existe um valor máximo.

Além disso, seu resultado é em unidades monetárias. Isto significa que a comparação de investimentos de valores muito diferentes não pode ser feita apenas com o VPL.