Constante Dielétrica

Introdução

A Constante Dielétrica ou Permissividade Elétrica Relativa -ε_r– consiste na capacidade do material de armazenar cargas elétricas e traduz, de forma macroscópica, os efeitos que ocorrem no interior de átomos e moléculas devido ao campo elétrico.

Portanto, ela se encontra diretamente relacionada à estrutura da matéria, e varia em mais de 4 ordens de magnitude dependendo do material.

Nos gases, em decorrência da distância entre moléculas, que resulta em densidades baixas, a constante dielétrica permanece um pouco maior do que a constante dielétrica do vácuo. Por exemplo, a constante dielétrica do ar na pressão de 1 atm vale 1,000 6.

Na maioria das cerâmicas e polímeros, a constante dielétrica varia entre 2 e 10 em decorrência das ligações covalentes.

No caso de materiais com ligações iônicas, a constante dielétrica se encontra entre 6 e 10.

Materiais com elevados valores de constante dielétrica possuem mecanismos especiais de polarização que envolvem a rotação de dipolos ou transformação ferroelétrica de fase.

A água, com constante dielétrica de 80, e o BaTiO3, com constate dielétrica de 1 000, são exemplos desses mecanismos.

Efeitos do Campo Elétrico nos Materiais

A eletricidade surgiu antes da descoberta do elétron e, consequentemente, desenvolveram-se teorias macroscópicas e experimentais para explicar os efeitos do campo elétrico nos materiais.

Posteriormente, passou-se a utilizar as teóricas sobre a estrutura da matéria para explicar o comportamento dos materiais sob campos elétricos.

Comportamento Macroscópico

O Eletromagnetismo explica de forma macroscópica a influência do campo elétrico nos materiais através da criação do vetor de Polarização – P, que reúne macroscopicamente os efeitos do campo elétrico nos materiais de acordo com a Figura 1.

A Equação 1 mostra a relação do vetor P com os vetores densidade de campo elétrico e densidade de fluxo elétrico.

Onde:

• D é o vetor densidade de fluxo elétrico [C/m²];
• E é o vetor densidade de campo elétrico [V/m];
• P é o vetor de polarização elétrica [C/m²];
• ε₀ é a permissividade do vácuo [F/m];
• χ_e é a suscetibilidade elétrica do material;
• ε_r é a permissividade relativa do material.

A Equação 2 mostra a relação entre o vetor de polarização, o campo elétrico e a propriedade do material expressa em função de uma propriedade macroscópica do material denominada suscetibilidade elétrica.

Por sua vez, a Equação 3 apresenta a relação entre as duas outras maneiras de relacionar a susceptibilidade elétrica com a permissibilidade elétrica ou constante dielétrica dos materiais relativa e absoluta. 

Onde:

• • D é a densidade do fluxo elétrico [C/m²];
  • P é o vetor de polarização [C/m²];
  • E é a intensidade do campo elétrico [V/m];
  • ε é a permissividade elétrica ou constante dielétrica do material [F/m];
  • ε₀ é a permissividade ou constante dielétrica do vácuo [8,854 187 817 81 x 10^-12 F/m];
  • ε_r é a permissividade ou constante dielétrica relativa do material;
  • χ_e é a susceptibilidade elétrica do material.

As permissividades absolutas possuem valores numéricos pequenos expressos em F/m que dificultam o trabalho de comparação entre materiais. Por isso, utiliza-se a permissividade relativa e a susceptibilidade.

Observa-se que a presença de matéria sempre aumenta a densidade de fluxo elétrico – D, e a constante dielétrica é tudo menos uma constante.

Ela depende da frequência e intensidade do campo elétrico, da temperatura, da pressão e da estrutura do material.

Ao se considerar a frequência do campo elétrico aplicado, a constante dielétrica se torna uma grandeza complexa, possuindo uma parte real e outra imaginária, conforme mostra a Equação 7.

Onde:

• • ε’ é a parte real da constante dielétrica relativa do material;
  • ε” é a parte imaginária da constante dielétrica relativa do material;
  • δ é o ângulo de perdas do material;
  • tan(δ) é o fator de dissipação do dielétrico; 

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Exemplo 1 – Comportamento da água

A Figura 2 apresenta a Constante Dielétrica da água em função da frequência e da temperatura.

 Figura 2. Constante dielétrica da água.

Observa-se que até 500 MHz, a constante dielétrica da água permanece constante e o fator de dissipação praticamente nulo.

Contudo, a partir dos 500 MHz a componente real começa a decrescer e a imaginária a aumentar independentemente da temperatura.

Além disso, a componente imaginária atinge um valor máximo entre 10 GHz e 30 GHz dependendo da temperatura. Após essas frequências, ambas as componentes decrescem e tendem a zero.

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Exemplo 2 – Forno de Micro-ondas

O forno de micro-ondas se tornou a aplicação prática da constante dielétrica mais conhecida na vida moderna.

Capacitores possuem maior utilização porque estão presentes na maioria dos equipamentos elétricos e eletrônicos, mas se encontram invisíveis ao público leigo.

O forno de micro-ondas consiste basicamente numa fonte de ondas eletromagnéticas de frequência fixa (⋍2,4 GHz) que, ao se propagar através dos materiais dielétricos, produz aquecimento.

Todos sabem que não se deve colocar qualquer material no forno de micro-ondas, principalmente condutores.

Além disso, alimentos diferentes se comportam de forma distinta no forno. Como explicar teoricamente este conhecimento empírico?

A Figura 3 mostra uma micro-onda plana incidindo em determinado material homogêneo.

Pode-se descrever o campo elétrico de uma onda eletromagnética plana e uniforme propagando em um material dielétrico homogêneo e isotrópico da seguinte maneira:

Onde:

• • α é o coeficiente de atenuação [1/m];
  • β é a coeficiente de fase [1/m];
  • t é o tempo;
  • z é a distância percorrida pela onda no material;

Ao penetrar no material a onda transfere energia para o material e, consequentemente, diminui de amplitude de forma exponencial.

O comprimento de onda – λ – e a impedância intrínseca – η – serão dados por:

Onde:

• • λ é o comprimento de onda;
  • η é a impedância intrínseca complexa[Ω];
  • θ_n é o ângulo da impedância intrínseca.

A impedância intrínseca representa a impedância do material vista pela onda.

A profundidade de penetração, definida como sendo o inverso da constante de atenuação, representa a distância percorrida pela onda eletromagnética para que a amplitude do campo elétrico diminua 63% (1/e).

Onde:

• • δ_p é a profundidade de penetração da onda;
  • δ_pp é a profundidade de dissipação de potência da onda;¹

Isto significa que essa constante mede a capacidade de penetração de determinada onda eletromagnética no material em questão.

A Equação 13 apresenta a densidade de potência dissipada no material em função da impedância intrínseca e do fator de atenuação do material. ²

Neste caso, define-se a profundidade de penetração de potência como sendo a metade da profundidade de penetração do campo elétrico em decorrência do fator 2 no termo exponencial da Equação 13.

Onde: 

• • p_d é a potência por comprimento dissipada no material;
  • E_xo é a amplitude do campo elétrico da onda ao penetrar no material;
  • η é a impedância intrínseca complexa[Ω];
  • θ_n é o ângulo da impedância intrínseca.
  • α é o coeficiente de atenuação [1/m].

Isto significa que, dependendo da constante dielétrica do material e da frequência da onda eletromagnética, o aquecimento ocorrerá de forma diferente.

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As expressões anteriores relativas à constante dielétrica consideraram os materiais isotrópicos.

No caso de materiais anisotrópicos, a constante dielétrica se transforma num tensor de acordo com a equação 14.

Observa-se que a Densidade de Fluxo Elétrico e a Intensidade de Campo Elétrico são tensores de primeira ordem e, consequentemente, a Constante Dielétrica dos materiais é um tensor de segunda ordem simétrico com as seguintes peculiaridades:

• • os elementos diagonais são positivos;
  • os elementos fora da diagonal podem ser negativos;
  • os elementos são números complexos;
  • os elementos fora da diagonal possuem módulo menor do que os elementos da diagonal;
  • os elementos variam com a frequência do campo elétrico;
  • a parte imaginária se encontra associada à perda de energia que ocorre no dielétrico;
  • as partes real e imaginária da constante dielétrica podem ter comportamentos e simetrias distintos com a frequência.

A simplificação do tensor constante dielétrica depende da estrutura e da simetria do material. A Tabela abaixo apresenta os diversos tipos de cristais existentes.

Tabela 1. Sistema Cristalinos

Materiais Triclínicos

Para este tipo de materiais cristalinos, a Constante Dielétrica se torna um tensor completo conforme a Equação 14. 

O Carbonato de Calcio – CaCO₃ -, na forma de Aragonita, exemplifica este tipo de material. (ε₁₁=8,67, ε₂₂=8,69, e ε₃₃=8,31 @tamb @ 94GHz)³

Materiais Monoclínicos

Materiais Monoclínicos possuem a constante dielétrica na forma do tensor da Figura 15. Os elementos da diagonal são distintos e apenas dois elementos fora da diagonal são diferentes de zero.

A Gipsita – Ca(SO₄).2H₂O – exemplifica este tipo de material. (ε₁₁= 5,1, ε₂₂=5,24, ε₃₃= 10,30 @ tamb) ⁴

Materiais Ortorrômbicos

Materiais Ortorrômbicos apresentam a constante dielétrica na forma do tensor da Figura 16. Os elementos da diagonal são distintos, mas todos os elementos fora da diagonal são nulos.

O Enxofre exemplifica esse tipo de material. (ε₁₁=3,75, ε₂₂=3,95, ε₃₃=4,44) ⁵

Materiais Uniaxiais

Os materiais uniaxiais representam o conjunto formado pelos cristais Tetragonais, Trigonais e Hexagonais, e possuem a constante dielétrica na forma do tensor apresentado na Figura 17. 

O Titanato de Bário – BaTiO3 – é um exemplo desse tipo de material. (ε₁₁=3600, ε₃₃=150 sem pressão mecânica @ 100 KHz, e ε₁₁=2300, ε₃₃=80 com pressão mecânica @ 250MHz, todos @ 298 K) ⁶

Materiais Cúbicos

Finalmente, os materiais com cristais cúbicos possuem apenas os elementos diagonais e são todos iguais. Isto significa que a notação tensorial não se torna necessária com esses materiais. 

O óxido de cobre -CuO- exemplifica esse tipo de material (ε =18,1 @ tamb 2MHz) ⁷

Tabela 2. Propriedades Dielétricas

Material	Símbolo	Rigidez Dielétrica[kV/mm]	Constante Dielétrica Relativa	Observações	Fator de dissipação
Bromo	Br		3,15
Selênio	Se		6,60
Alumina	Al2O3	9,00	9,3
Quartzo	SiO2		4,2
Baquelite	Sumitomo Durez 22257	7,9	5,5	@ 1 MHz	0,08
Germanium	Ge		16
Silício	Si		11,8
Estanho	Sn		24
Metanol			32,63
Etanol			24,3
PPA com fibra de vidro		0.8 a 37,0	3,59 a 136	varia com a frequência e temperatura	0,005 a 0,85
Água	H2O		55,51 a 87,9 80.2 @20C	varia com a temperatura e pressão
Água Pesada	D2O		78,06 @ 20C
Titanato de Bario	BaTiO3		1000 a 5000

Fonte: Matweb

Modelo Equivalente 

Para analisar circuitos elétricos com materiais dielétricos, pode-se utilizar as seguintes expressões:

Onde:

• • C é a capacitância equivalente;
  • C₀ é a capacitância sem o material dielétrico;
  • R é a resistência equivalente em paralelo com o capacitor;
  • ε’ é a parte real da constante dielétrica relativa do material;
  • ε” é a parte imaginária da constante dielétrica relativa do material;
  • ω é a frequência da tensão/corrente aplicada no material.

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Exemplo 3 – Material dielétrico entre duas placas paralelas

Por exemplo, considerando um material dielétrico capacitor de placas paralelas, conforme mostra a Figura 4, C₀ possuirá o valor apresentado na Equação 20.⁸

 

A Figura 5 apresenta o circuito equivalente de materiais dielétricos submetidos a campos elétricos.

É importante observar que este modelo se mantém válido para qualquer geometria porque o efeito da geometria se encontra no cálculo de C₀.

Referências

• AGILENT TECHNOLOGIES, Basics of Measuring the Dielectrics Properties of Materials – Application Note,
• HAYNES, W.M., LIDE, D.  R., BRUNO, T. J., (editors) Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press, 93 ed., 2013.
• KAO, K.C., Dielectric Phenomena in Solids, Elsevier, 2004.
• NOTAROS, B. M., Eletromagnetismo, Pearson, 2012. ⁹
• PEEK, F. W., Dielectric Phenomena in High Voltage Engineering, McGraw-Hill, 2 ed., 1920.
• RAJU, G. G., Dielectrics in Electric Fields, Dekker, 2002.
• SOLYMAR, L., WALSH, D., SYMS, R. R. A., Electrical Properties of Materials, Oxford, 10 ed., 2019. ¹⁰
• VON HIPPEL, A. R., Dielectrics and Waves, MIT, 1954.