Catenária

Aspectos Mecânicos em cabos
“A linha reta pertence aos homens, as curvas a Deus.”
Observem que os cabos de linhas de transmissão apresentam uma “barriga”, que se denomina de catenária.
A forma dessa barriga depende dos seguintes fatores:
    • Peso do cabo; 
    • Comprimento do cabo;
    • Material do cabo;
    • Temperatura do cabo;
    • Distância entre as torres;
    • Altura das torres;
    • Tração no cabo.

Quem fez o trabalho de cabos, encontrou uma expressão do segundo grau para aproximar os pontos medidos. Contudo, como podemos obter a equação do cabo utilizando a física e a matemática?

Índice

Fórmula da Catenária

Este problema matemático foi proposto por Jacob Bernoulli em 1690, mas anteriormente Galileu Galilei havia sugerido que a curva seria uma parábola. Portanto, fiquem felizes se os resultados obtidos por vocês neste trabalho foram equações de segundo grau, vocês chegaram ao mesmo resultado que Galileu.

Contudo, somente em 1691 Johan Bernoulli, irmão de Jacob Bernoulli, apresentou a solução para este problema. Na época, esta demonstração representou enorme avanço matemático, mas hoje não passa de um exercício de cálculo do ciclo básico.

Considerando a referência dos eixos no ponto central do cabo e analisando o equilíbrio de estático de forças da Figura 1, teremos que a componente horizontal de T deverá ser sempre igual a To, e a componente vertical deverá igualar ao peso do segmento do cabo. 

Figura 1. Cabo suspenso
A Equação 1 apresenta este equilíbrio de forças.
Equação 1. Equilíbrio de forças no cabo
Onde:
    • T é a tensão no cabo[N];
    • θ é o ângulo do cabo no ponto com relação aos eixos de referência;
    • T 0 é a tensão horizontal no cabo na origem dos eixos [N];
    • ρ é a massa específica do cabo [kg/m3];
    • A é a área da seção reta do cabo[m2];
    • g é a aceleração da gravidade[m/s2];
    • s é o comprimento infinitesimal do cabo[m].
Porém, o produto da massa específica pela área resulta na massa por comprimento do cabo, que pode ser medida com maior facilidade.
Pode-se obter a tangente do ângulo θ pela divisão das expressões da Equação 1.
 
Equação 2
Derivando a Equação 2 em relação a x, obtemos a seguinte expressão
Equação 3
A partir do triângulo verde na Figura 1, obtêm-se a seguinte relação:
Equação 4

Substituindo a Equação 4 na Equação 3, obtemos a seguinte relação:

Como resolver esta equação diferencial?

A dica consiste em usar o artifício da substituição de variáveis.

Cria-se uma variável z, conforme a expressão abaixo, e substituindo na equação (4), teremos que:

Equação 6

Rearrumando a equação 6, obtemos que:

Equação 7

A solução da Equação 7 requer que os dois termos da expressão sejam iguais a uma constate. Consequentemente, integrando os dois termos teremos que:1

Equação 8

As constantes C1 e C2 dependem das condições iniciais do problema. Neste caso específico, de acordo com a Figura 1, as constantes C1 e C2 são iguais e a solução se torna:

Equação 9

A Equação 10 fornece o valor de z a partir da Equação 9.

Equação 10

A partir das Equações 6 e 2, pode-se escrever que:

Equação 11
Portanto, o comprimento do cabo será dado por:
 
Equação 12

Levando em consideração a simetria da Figura 1, o comprimento total do cabo – S – será dado por:

Equação 13

A constante abaixo possui dimensão de comprimento e representa a força de tração horizontal dividida pelo peso do cabo por unidade de comprimento.

Equação 14

Para distâncias entre torres menores que esta constante, o cabo fica praticamente esticado e sem barriga. Por outro lado, para distâncias entre torres maiores, a barriga aumenta.

Obtém-se a altura do cabo a partir da Equação 15.

Equação 15

A constante C depende das condições de contorno do problema específico. No caso em questão e de acordo com a Figura 1, como y=0 pra x=0, a constante C será dada por:

Equação 16
E a Equação 17 fornece a altura do cabo -y.
Equação 17.

A Flexa máxima, que corresponde à altura da torre – Ht – menos a distância ymax , que se calcula pela Equação 18.

Equação 18

No caso geral de alturas de torre diferentes, mostrado na Figura 2, a altura da linha será dada pela equação 19.

Figura 2. Caso geral com torres de alturas diferentes
Equação 19

Considerando a altura da linha igual Ha para x=0 e Hb  para x=D (distância entre as torres), teremos que:

Equação 20. Cálculo de Ha
Equação 21. Cálculo de Hb

Substituindo o valor de A, obtido pela Equação 20, na equação 21, obtém-se o valor de B.

Equação 22

Desta maneira, a equação 23 fornece a altura do cabo em função de x e dos parâmetros da linha.

Equação 23 Altura da linha em função da distância.

A altura mínima da linha ocorrerá quando a derivada da altura em relação à distância for igual a zero. Desta maneira, teremos que:

Equação 24.

Onde:

Equação. Constante da linha

Conforme visto no início, a derivada do comprimento do cabo será dada por:

O comprimento total do cabo será dado por:

Finalmente, assistam a este vídeo que conta tudo isso de forma muito interessante.