“Finanças consiste na arte de passar dinheiro de mão em mão até ele desaparecer”
Robert Sarnoff, foi Presidente da RCA
Independentemente da profissão, a matemática financeira se tornou indispensável à vida cotidiana. O milionário a utiliza para preservar sua fortuna, e todos devem aplicá-la para construir seu patrimônio.
Por razões obscuras, seu ensino se encontra restrito aos cursos relacionados à área financeira, apesar de ser indispensável na engenharia.
Os engenheiros necessitam conhecê-la para criar soluções economicamente viáveis, de modo que as empresas possam pagar seus salários.
Índice
- Tempo é dinheiro
- Valor Futuro
- Valor Presente
- Pagamentos Constantes
- Amortizações Constantes
- Inflação
- Viabilidade de Projetos
Tempo é Dinheiro
Tempo é dinheiro, mas como medi-lo?
A variação do valor econômico das coisas1 com o tempo constitui a base da matemática financeira. A Figura 1 apresenta o conceito de valor futuro. Quanto maior o tempo, maior a mudança do valor futuro, que pode ser positiva ou negativa. Mas, como medir a velocidade desta variação?
A velocidade da variação de valor pode ser expressa em $/ano ou em $/mês, onde $ representa qualquer unidade monetária2. No entanto, esta velocidade possui um valor relativo diferente dependendo da comparação ser feita com o valor inicial ou final.
Por isso, normaliza-se esta velocidade tendo como base o valor existente no instante inicial. A escolha do ponto inicial depende da situação específica e não precisa necessariamente ser o momento presente. 3 Por exemplo, considerando a Figura 1, se a velocidade da variação de valor fosse de R$100,00 por ano, a velocidade normalizada seria de 10% ao ano. Portanto, o conceito de velocidade de variação de valor também depende da unidade de tempo considerada.
Utilizando este conceito, o valor futuro equivale ao valor inicial mais o incremento relativo à velocidade de variação.
Denomina-se a velocidade de crescimento de valor de taxa de desconto. Em operações financeiras, denomina-se esta taxa de taxa de juros. Juros existem apenas em operações de empréstimo, para investimentos denominamos esta velocidade de taxa de retorno. Por isso, utilizaremos a denominação de taxa de desconto para designar juros ou taxa de retorno indistintamente no desenvolvimento dos conceitos de matemática financeira. A matemática financeira independe da nomenclatura, mas a escolha correta da taxa na resolução de questões práticas requer experiência e compreensão do problema específico.
Valor Futuro
O Valor Futuro da Figura 1 é igual ao valor presente mais o aumento provocado pela taxa de desconto conforme a equação abaixo:
Onde:
-
- Vf é o valor futuro;
- Vp é o valor presente;
- i é a taxa de desconto.
Exemplos
1. Você emprestou R$ 100 e recebeu R$ 110 no mês seguinte. Qual a taxa de desconto desta operação? Qual a taxa de retorno e qual a taxa de juros? 4
2. Você emprestou R$ 100 e recebeu R$ 90 depois de 1 ano. Qual a taxa de juros deste empréstimo? 5
3. Você emprestou R$ 100 e recebeu R$ R$101 no dia seguinte. Qual a taxa de juros deste empréstimo? 6
4. Qual a maior taxa de juros dos exemplos anteriores? 7
Quando a frequência de capitalização da taxa de desconto é diferente da base de tempo do fluxo financeiro, surge a questão da capitalização da taxa de desconto. A Figura 2 mostra este conceito.
Considerando a taxa de desconto constante8, calcula-se o valor futuro 2 a partir da equação 1 da seguinte maneira:
Analogamente, escreve-se o valor futuro no período n da seguinte maneira:
Onde:
-
- n é um número inteiro que representa o período futuro.
Calcula-se a quantidade total de juros paga de acordo com a equação abaixo:
Observa-se que os juros crescem exponencialmente com o número de períodos de capitalização.
A quantidade de juros depende da frequência de capitalização. Na prática, o mercado utiliza frequências de capitalização mensais, trimestrais, semestrais e anuais. Países com taxas de juros ou inflação elevadas empregam frequências de capitalização mensal, enquanto economias estáveis operam com frequências semestrais ou anuais. O ajuste da frequência de capitalização afeta a taxa de desconto real e o cálculo do valor futuro da seguinte maneira:
Onde:
-
- m é a frequência de capitalização por ano;
- n é o número de anos;
- i é a taxa de desconto nominal anual.
Normalmente, anunciam-se as taxas como um percentual ao ano – % a.a. Porém, essa informação encontra-se incompleta porque não expressa a frequência de capitalização.
A equação 5 mostra como ajustar as taxas anuais de acordo com a frequência de capitalização.
Onde:
-
- i% a.a é a taxa anual capitalizada anualmente;
- i% a.s é a taxa anual capitalizada semestralmente;
- i% a.m é a taxa anual capitalizada mensalmente;
- i% a.d é a taxa anual capitalizada diariamente.
Em decorrência das elevadas taxas de juros e/ou inflação, as taxas de juros capitalizadas mensalmente podem ser expressas ao mês. Quanto isto ocorre, deve-se utilizar as equações abaixo:
Onde:
-
- iaa é a taxa de desconto anual capitalizada anualmente;
- imm é a taxa de desconto mensal capitalizada mensalmente;
- iss é a taxa de desconto semestral capitalizada semestralmente;
- itt é a taxa de desconto trimestral capitalizada trimestralmente;
- idm é a taxa de desconto diária capitalizada mensalmente;
Como o tempo existe de forma contínua, a capitalização dos juros também pode ocorrer continuamente. A partir da equação 4 , calcula-se a taxa de desconto com capitalização contínua da seguinte maneira:
Por exemplo, uma taxa de desconto de 12% ao ano capitalizada mensalmente equivale, baseado na equação 5, a 12,68 % aa. Porém, se a capitalização fosse contínua, esta taxa passaria para 12,74% de acordo com a equação 7.
Exemplos
5. Qual a capitalização do exemplo 1? 9
6. Qual a capitalização do exemplo 3? 10
7. Qual a taxa de desconto do exemplo 3 em base mensal? 11
Valor Presente
Calcula-se o valor presente a partir da equação 2 da seguinte maneira:
Dependendo do caso, calcula-se o valor presente a partir da equação 4.
Exemplos
8. Qual o valor futuro de $ 1 000,00 depois de 6 meses com uma taxa de 1% a.m capitalizada mensalmente? 12
9. Qual o valor presente de $ 1 000,00 daqui a 6 meses com uma taxa de 1% a.m capitalizada mensalmente? 13
Sistema de Pagamentos Constantes
O sistema de prestações, pagamentos, ou recebimentos periódicos acontece frequentemente e denomina-se Tabela Price. Neste sistema, conforme mostra a Figura 3, pagamentos iguais ocorrem com periodicidade constante durante n períodos.
Como calcular o valor futuro e o valor presente deste sistema de maneira mais simples do que pela aplicação direta das equações 2 e 8?
Utilizando a equação 2, calcula-se o valor futuro deste fluxo financeiro através da seguinte série:
Onde:
-
- Pmt é o pagamento ou recebimento constante. 14
Multiplicando ambos os lados da equação por (1+i), teremos que:
Subtraindo a equação 10 da equação 9, obtemos:
Por sua vez, calcula-se o valor presente, aplicando a equação 8 na equação 11 da seguinte maneira:
Esta equação possui quatro variáveis; Vp, Pmt, i e n, e deve-se conhecer três delas para calcular o valor da restante.
Quando se conhece a taxa de desconto (i) e o número de períodos (n), basta aplicar diretamente a equação 12 para calcular uma das outras duas variáveis (Vp ou Pmt).
Contudo, quando número de período se torna incógnita, precisamos manipular algebricamente a equação para achar a solução analítica. Para isso, aplicamos a seguinte mudança de variáveis:
Substituindo esta nova variável na equação 10, teremos que:
Substituindo a equação 13 na equação 14, teremos que:
A partir desta equação, observa-se que o valor do pagamento periódico (Pmt) deve ser maior que o valor presente multiplicado pela taxa i (Vp.i) para que exista solução. 15 Em outras palavras, Vpi/Pmt deve ser menor do que 1.
Finalmente, para calcular o valor de i, manipulamos a equação 12 e criamos a seguinte função:
Esta equação não possui solução analítica, mas a disponibilidade de calculadoras e planilhas eletrônicas permite resolver este problema rapidamente utilizando técnicas numéricas de solução de equações não lineares. 16
A Figura 4 apresenta o valor presente normalizado com relação ao pagamento17 para diversos valores de i e n.
Observa-se que o valor presente dividido pelo pagamento diminui com o aumento do número de prestações e com aumento da taxa de juros. Além disso, ele converge para o valor de 1/i quando o número de períodos tende a infinito. 18 Este valor, denominado perpetuidade, representa o valor presente de um pagamento perpétuo com taxa i.
Por outro lado, o valor presente tende a zero quando a taxa i tende a infinito, demonstrando que quanto maior a taxa, menos valem as receitas futuras.
Além disso, a Figura 4 permite resolver a equação 16 graficamente. Determina-se a taxa i pela interseção da reta paralela ao eixo i no valor de Vp/Pmt com a curva do número de períodos desejado.
[em manutenção]
Figura 4. Valor presente normalizado da Tabela Price
Calcula-se o total de juros pagos neste sistema da seguinte maneira:
Observa-se que o total de juros pagos cresce exponencialmente com o número de períodos. Por isso, deve-se evitar financiamentos de longo prazo com este tipo de pagamento.
Exemplos
10. Considere uma compra de $ 1 000 parcelada em 5 vezes iguais com juros de 1% ao mês com capitalização mensal. Determine o valor da prestação e o total de juros pagos. 19
Tabela Price
Tabela 1 - Capital $ 1 000,00 e juros 1% a.m
Mês Saldo Devedor
Inicio mêsPagamento Amortização Juros Saldo devedor
Final mês
0 $1 000,00 - - $10,00 $1 010,00
1 $1 010,00
$206,04 $196,00 $8,04 $812,00
2 $812,00 $206,04 $197,96 $6,06 $612,02
3 $612,02 $206,04 $199,98 $4,06 $410,04
4 $410,04 $206,04 $201,98 $2,04 $206,04
5 $206,04 $206,04 $204,00
- -
Total - $1030,2 $1000 $30,2 -
11. Seu cartão de crédito propôs financiar um saldo devedor de $ 1 000,00 em 24 prestações mensais de $ 99,84. Determine a taxa de juros mensais e capitalização mensal cobrada. 20
12. Qual a taxa de juros equivalente que seu cartão cobra ao ano com capitalização anual? 21
13. Determinada loja oferece um produto em 10 parcelas mensais de R$ 500,00 no carnê sem juros. É melhor comprar com o financiamento do cartão de crédito do exemplo anterior ou diretamente pela loja? 22
14. Considerando que você possui R$ 5.000,00 aplicados na caderneta de poupança rendendo 0,5% ao mês com capitalização mensal, calcule o menor desconto que você deve aceitar para comprar o produto do exemplo anterior à vista. 23
15. Considerando que a taxa de lucro da loja é de 20% ao ano, determine o maior desconto que o comerciante deve aceitar para vender o produto à vista. 24
16. Por que o maior desconto aceitável pelo comerciante é maior do que o menor desconto aceitável pelo comprador? Resposta: a taxa de lucro da loja é maior do que a taxa do rendimento da poupança do consumidor. 25
17. Estime o valor presente de $ 100,00 depositados mensalmente numa aplicação que rende 10% ao ano com capitalização mensal. 26
Sistema de Amortizações Constantes
Utiliza-se o sistema de prestações constantes em operações financeiras para o consumidor e financiamento de bens de consumo de valores reduzidos devido ao valor constante das prestações.
Em operações de alto valor e longo prazo 27 utiliza-se o sistema de amortizações constantes – sistema SAC, conforme a Tabela 2.
Observa-se que as prestações mensais decrescem, mas os pagamentos iniciais são maiores do que os pagamentos do sistema de pagamentos constantes. Contudo, o total de juros pagos é menor. Por isso, este sistema de pagamento tornou-se o preferido em empréstimos de longo prazo.
A amortização se resume ao valor presente dividido pelo número de pagamentos e os juros são dados por:
Onde:
-
- Ak é a amortização no período de tempo k;
- Vp é o valor presente;
- n é o número total de períodos de tempo;
- i é a taxa de juros ou retorno;
- k é um dos períodos de tempo.
A Equação 19 fornece o valor total de juros pagos pelo sistema SAC.
Comparando as tabelas 1 e 2, observa-se que o total de juros pagos é menor, mas os pagamentos durante a primeira metade do financiamento são maiores do que o financiamento com a Tabela Price.
Sistema SAC
Tabela 2 - Capital $ 1 000,00 e taxa de juros de 1% a.m
Mês Saldo Devedor
Início mêsPagamento Amortização Juros Saldo Devedor
Final mês
0 $1 000,00 - - $10,00 $1 010,00
1 $1 010,00 $210 $200,00 $8,00 $808,00
2 $808,00 $208,00 $200,00 $6,00 $606,00
3 $606,00 $206,00 $200,00 $4,00 $404,00
4 $404,00 $204,00 $200,00 $2,00 $202,00
5 $202,00 $202,00 $200,00 - -
Total - $1 030,00 $1 000,00 $30,00 -
Inflação
Até agora, consideramos a moeda $ sem inflação. Contudo, a inflação e as variações de preços ocorrem ao longo do tempo e independem da moeda escolhida. A questão reside em como tratar este fenômeno na análise financeira.
A legislação brasileira vigente não permite o reajuste de preços de contratos em intervalos inferiores a 12 meses, mas aceita reajuste de preços em base anual de acordo com índices gerais de preços, tais como IPCA e IGP-M.
Por outro lado, contratos internacionais apresentam cláusulas de reajuste de preço sempre que a inflação ultrapassa determinado valor pré acordado. Este sistema é conhecido como gatilho inflacionário.
Existem duas formas de considerar a inflação na análise financeira; o modelo pós-fixado e o modelo prefixado. Como a inflação futura é desconhecida, sua inclusão nos modelos requer alguns truques.
Modelo Pós-fixado
Neste modelo, considera-se o fluxo de caixa em moeda constante e com taxa de juros sem inflação, conforme as análises anteriores. Para isso, converte-se a moeda do fluxo em moeda indexada de acordo com algum índice escolhido. Contudo, o problema deste método consiste no desconhecimento dos índices inflacionários futuros e, por isso, denomina-se de pós-fixado.
Para contornar este problema, pode-se utilizar uma taxa de inflação estimada para corrigir a taxa nominal de retorno da seguinte maneira28:
Onde:
-
- ir é a taxa de desconto aparente;
- i é a taxa de desconto real;
- ii é a taxa de inflação.
Observa-se, a partir da equação 20, que para taxas de inflação baixas o produto das taxas pode ser desprezado e a taxa aparente será dada aproximadamente pela soma da taxa real com a taxa da inflação.
Exemplos
19. Considere uma aplicação de $ 1 000 em caderneta de poupança rendendo TR mais 0,5 % a.m. Determine a rentabilidade total sabendo que a TR valorizou 0,1771 % a.m. 29
20. Qual a rentabilidade anual desta aplicação? 30
21. Considerando a taxa de inflação anual igual a 9,8% a.a, determine o rendimento real da aplicação anterior.31
Modelo Pré Fixado
No modelo pré fixado ajustam-se os valores do fluxo de caixa de acordo com a inflação estimada para cada intervalo de tempo e a taxa de juros utilizada deverá ser a aparente, que considera a taxa de inflação.
Análise de Viabilidade de Projetos
A análise de viabilidade de projetos tem como objetivo escolher projetos e decidir investimentos. Por exemplo:
-
- É melhor construir uma hidrelétrica ou uma termelétrica?
- Qual o financiamento máximo que podemos fazer para um determinado investidor?
- Dado o valor do investimento necessário para a construção de uma usina, qual deve ser o preço da energia vendida?
- Dado o preço da energia vendida e o valor do investimento, qual o retorno do projeto?
- Qual o preço mínimo aceitável num leilão de energia?
- Qual o preço máximo aceitável num leilão de energia?
- Qual o impacto do atraso da obra na viabilidade do projeto?
- Qual a taxa de retorno da fotovoltaica domiciliar?
Para responder a estas e outras perguntas, deve-se detalhar inicialmente o fluxo de caixa do projeto. O fluxo de caixa representa todas as receitas e despesas do projeto durante toda sua vida útil em função do tempo. A partir do fluxo de caixa, realizam-se diversas análises utilizando os conceitos de matemática financeira apresentados anteriormente.
A Figura 5 apresenta o fluxo de caixa de um projeto fictício. Por convenção, despesas aparecem como vetores negativos e receitas como vetores positivos. Quando as receitas ou despesas são iguais, os vetores aparecem como linhas pontilhadas.
Exemplo
18. Esboce o fluxo de caixa de um projeto de energia solar com as seguintes características:
Projeto Fotovoltaico
Descrição Valor Observação
Equipamentos $ 6.000,00 Investimento inicial
Baterias $ 3.600,00 Investimento Inicial com troca a cada 5 anos
Troca Inversor $ 1.300,00 a cada 10 anos
Custo operação e manutenção $ 60 por ano
Vida útil 20 anos
Taxa de desconto 5% a.a.
Energia Gerada 81 kWh/mês máxima, 5 horas de sol pleno por dia
Resposta:
Valor Presente Líquido
O Valor Presente Líquido – VPL – de um fluxo de caixa equivale ao valor monetário de todo o fluxo trazido ao instante de tempo inicial do fluxo de caixa. O VPL corresponde à soma das receitas e despesas líquidas do fluxo de caixa descontadas para o instante de referência com uma determinada taxa de desconto. Portanto, o VPL depende da taxa de desconto. Normalmente, como existem diversas receitas e despesas no mesmo período de tempo, a diferença entre receitas e despesas em determinado instante de tempo determina o valor da receita líquida daquele momento. A Equação 21 descreve matematicamente o procedimento de cálculo do VPL.
Onde:
-
- VPL é o valor presente líquido [$];
- Fn é a receita líquida no instante n [$];
- i é a taxa de desconto;
- x é uma variável auxiliar;
- n é o período;
- N é o número máximo de períodos.
Calcula-se VPL através da equação 21 manualmente com uma calculadora ou digitalmente com uma planilha eletrônica, mas a grande questão consiste na escolha da taxa de desconto.
A taxa de desconto consiste na taxa de retorno desejada pelo investidor. Ela deve ser:
-
- maior do que a taxa de juros dos empréstimos bancários;
- maior do que a maior taxa de retorno dos investimentos de risco equivalente do investidor;
- maior do que zero;
- variável e não uma constante determinada pelo governo.
VPLs negativo significam que o projeto não consegue pagar seus custos e tornaram-se inviáveis com a taxa de desconto escolhida.
Por outro lado, VPLs positivos significam que o projeto paga seus custos com alguma folga e possuem viabilidade com a taxa de desconto escolhida.
No caso particular de VPL igual a zero, o projeto encontra-se no limiar da viabilidade porque não agrega nem destrói valor para o investidor.
Exemplos
22. Considerando a receita anual do exemplo 18 igual a $ 2 000 por ano, determine o VPL do projeto.
Resposta:
Normalmente, utiliza-se uma planilha eletrônica e aplica-se a função financeira de valor presente.32 Porém, neste exemplo, resolveremos manualmente com uma calculadora para fins didáticos. Para facilitar os cálculos, decompomos o fluxo de caixa em partes mais fáceis de calcular. 33 A arte de resolver este tipo de problema consiste em enxergar como separar o fluxo original no menor número de fluxos de fácil solução.
Primeira parte – Parcela constante do fluxo de caixa
Como a receita e a despesa de O&M34 são constantes ao longo do projeto, podemos utilizar a equação 21 fazendo:
- i=5% ao ano com capitalização anual;
- n=20;
Utilizando estes dados, o valor presente normalizado (Vp/PMT) será igual a 12,46. Como a receita líquida desta parcela é igual a $1 940 (2000-60), o valor presente líquido desta primeira parte é igual a $24 172,40. Desta forma, reduziu-se o fluxo de caixa conforme a figura 6.
Segunda parte – Parcelas únicas
Finalmente, para calcular o valor presente destas três despesas utiliza-se a equação 8, da seguinte maneira:
-
- Para cinco anos, teremos um valor presente de -$2 820;
- Para dez anos, teremos um valor presente de -$3 008;
- Para quinze anos, teremos um valor presente de -$1 732.
Portanto, o valor presente líquido – VPL- deste projeto fica igual a $7 012,40. Contudo, qual o significado deste número? Se compararmos o VPL com o total investido no projeto ($ 21 700), o lucro foi de 32% ao longo de 20 anos. 35 Será que o investidor fez um bom negócio?
23. Suponha que a eficiência do sistema foi inferior ao esperado, que o tempo permanece nublado mais do que previsto, e que, em decorrência desses erros de cálculo, a receita anual ficou reduzida para $ 1 437,00. Qual o novo VPL do projeto? 36
A equação 21 não possui solução analítica e isto representa uma limitação na utilização do VPL. Porém, considerando a equação 7 e o fluxo de caixa uma função contínua no tempo, o Vpl pode ser escrito da seguinte maneira:
Onde:
-
- s é a taxa de desconto de capitalização contínua;
- Vpl(s) o valor presente líquido em função da taxa de retorno s.
Observa-se que a função Vpl(s) é a transformada de Laplace do fluxo de caixa, e as todas as propriedades desta transformada aplicam-se ao valor presente líquido.
Exemplos
24. Determine o valor presente de um fluxo de caixa constante e infinito.
Considerando o valor de uma série geométrica infinita igual a;
e aplicando na equação 21, o valor presente líquido será igual a:
A utilização da transformada de Laplace da função constante37 permite obter diretamente o mesmo resultado, conforme a equação abaixo.
25. Determine o efeito do atraso de n anos no início dos pagamentos no valor presente líquido de uma perpetuidade.
Utilizando a transformada de Laplace de um degrau atrasado38, teremos que:
Onde:
-
- s é a taxa de desconto com capitalização contínua;
- i é a taxa de desconto com capitalização discreta;
- n é o número de anos de atraso.
Este exemplo serve para esclarecer que a taxa de desconto discreta (i) somente se iguala à taxa contínua (s) no caso da perpetuidade. Isto ocorre porque a taxa discreta tende para a taxa contínua quando o número de períodos tende para infinito. Por isso, a equação abaixo fornece relação de conversão entre a taxa contínua (s), utilizada na transformada de Laplace, e a taxa discreta i para os outros casos em que esta hipótese não se aplica.
26. Determine o Valor Presente Líquido de uma série de pagamentos constantes com duração finita.
Conforme a figura abaixo, o fluxo de caixa discreto pode ser representado pela diferença de dois fluxos de pagamentos perpétuos defasados no tempo.
A transformada de Laplace da função no tempo da figura 7 será dada, de acordo com JEFFREY, por:
Aplicando as considerações do exemplo anterior na equação 25, o valor presente em função da taxa de desconto discreta será dado por:
Onde:
-
- na é o número de períodos de capitalização referentes ao tempo a;
- nb é o número de períodos de capitalização referentes ao tempo b.
Demonstre que as equações 26 e 12 se igualam quando o tempo inicial (a) é zero.
Os exemplos anteriores mostraram, conforme era de se esperar, que os resultados obtidos com a utilização da Transformada de Laplace são equivalentes aos resultados encontrados com a matemática financeira convencional.
Contudo, a Transformada de Laplace permite resolver de forma mais simples problemas complicados para a matemática financeira convencional.
Exemplos
27. Projetos de geração de energia entram em operação de forma escalonada no tempo. Isto acarreta a venda crescente de energia ao longo do início do projeto, e este aumento afeta o valor presente líquido do empreendimento. Portanto, determine o valor presente líquido do fluxo de caixa da figura abaixo, que representa a receita com a venda de energia deste tipo de projeto.
O valor presente líquido do fluxo de caixa da Figura 8, utilizando a Transformada de Laplace, será dado por:
No caso de capitalização discreta, o valor presente líquido ficará igual a:
Onde:
- Pmt é o pagamento constante;
- k é o tempo a partir do qual o pagamento fica constante;
- s é a taxa de desconto com capitalização contínua;
- nk é o período de tempo a partir do qual o pagamento fica constante;
- i é a taxa de desconto com capitalização discreta.
Taxa Interna de Retorno
O valor presente líquido permite analisar diversos projetos, mas depende da taxa de desconto escolhida. Por isso, criou-se o conceito de Taxa Interna de Retorno-TIR, que representa 39 a taxa de desconto que anula o valor presente do fluxo de caixa. Portanto, a taxa interna de retorno representa a taxa de desconto limítrofe entre lucro e perda. Ou seja, para determinado fluxo de caixa e com esta taxa de desconto, a receita líquida do projeto permite apenas o pagamento do investimento.
A resolução da equação abaixo fornece o valor da TIR.
Onde:
-
- Fn é o fluxo de caixa no período n;
- TIR é a taxa interna de retorno;
- n é o período.
Infelizmente, esta equação não possui solução analítica e sua solução requer também técnicas de cálculo numérico. Contudo, as modernas máquinas de calcular e planilhas eletrônicas40 permitem resolver esta questão rapidamente.
Exemplos
24. Qual a taxa interna de retorno do exemplo 18? 41
Tempo de Retorno
O tempo de retorno42 é o número de períodos necessário para que o valor presente do fluxo de caixa até aquele período seja igual ao investimento. Isto pode ser escrito da seguinte maneira:
Onde:
-
- Nr é o período/tempo de retorno;
- i é a taxa de desconto;
- Io é o investimento inicial.
A equação 24 é semelhante à equação 23, mas a incógnita representa a única diferença. Isto significa que os métodos números utilizados no cálculo da TIR também podem ser utilizados no cálculo do tempo de retorno. Contudo, para fugir do cálculo numérico, considera-se a taxa de desconto igual a zero. Este resultado equivale ao menor tempo de retorno possível deste fluxo de caixa, e quanto maior a taxa de desconto maior o tempo de retorno.
Este indicador apresenta os seguintes problemas:
-
- Não considera todo o fluxo de caixa porque o cálculo termina no período de retorno.
- Assim como no caso da taxa interna de retorno, existe a possibilidade de diversas soluções para o problema.
Por tudo isso, evita-se utilizar este método na análise de projetos de elevado investimento e de longo prazo.
Bibliografia
- PUCCINI, A.L., Matemática Financeira Objetiva e Aplicada, Editora Saraiva, 1999.
- BUSER, S.A., LaPlace Transforms as Present Value Rules: A Note, The Journal of Finance, Vol. XLI, n.1, março de 1986.
- MURRAY, R. S., LIPSCHUTZ, S., LIU, J., Mathematical Handbook of Formulas and Tables, McGraw-Hill, 2009.
- JEFFREY,A., DAI, H.H., Handobook of Mathematical Formulas and Integrals, 4 edição, Elsevier, 2008.