O campo magnético produzido por uma corrente em uma espira circular é a base para solucionar problema práticos mais complexos.
O objetivo deste exemplo é calcular o vetor densidade de fluxo magnético – B – e o vetor potencial magnético – A – no ponto P genérico.
A figura acima mostra uma espira circular com uma corrente I no sistema de coordenadas cartesianas e esféricas.
Primeiro Passo – Coordenadas dos Pontos
O centro da espira foi escolhido como sendo a origem do sistema de coordenadas.
As coordenadas do ponto P são dadas1, seguindo as linhas pontilhadas da figura, por:
As coordenadas do comprimento infinitesimal – dl – da espira são dadas, seguindo as linhas vermelhas, por:
Segundo Passo – Vetor R
R é o vetor que liga o elemento dl da espira ao ponto P e é dado, seguindo as linhas vermelhas da figura, por:
O módulo deste vetor é dado por:
Terceiro Passo – Cálculo do Vetor Potencial Magnético
O vetor potencial magnético – A – é mais fácil de ser calculado do que o vetor de densidade de fluxo magnético – B – porque segue a corrente, conforme mostra a figura abaixo. Isto significa que, no caso de uma espira de corrente circular, a única componente do vetor será Aφ, que é sempre paralela à corrente e é sempre paralela ao plano xy.
A componente Aφ do vetor potencial magnético é dado pela expressão abaixo 2 3:
Aplicando as condições do exemplo na expressão acima, teremos que:
A solução desta integral será dada por4:
onde:
e K(k) e E(k) são as integrais elípticas completas, cujos valores são apresentados na Tabela abaixo e podem ser aproximados pelas seguintes expressões:
onde a função !! é definida pela equação 5.
A tabela abaixo apresenta valores numéricos para as funções elípticas em função de diversos valores de k.
Segundo [4], a equação 1 pode ser escrita em coordenadas cilíndricas da seguinte maneira:
Onde:
Quarto Passo – Cálculo do vetor Densidade de Fluxo Magnético
O vetor densidade de fluxo magnético – B – está relacionado com o vetor potencial magnético de acordo com:
De acordo com [1], as componentes do vetor B em coordenadas esféricas serão dadas por:
Onde Aφ é dado pela equação 3 porque a definição acima está em coordenadas esféricas.
As componentes do vetor B em coordenadas cilíndricas serão dadas por:
Referências
- JACKSON, J.D., Classical Electrodynamics, John Wiley & Sons, New York, 1962.
- NOTAROS, B.M., Eletromagnetismo, Pearson Education do Brasil, São Paulo, 2012.
- JEFREY, A., DAI, H., Handbook of Mathematical Formulas and Integrals, 4 edição, Elsevier, 2008.
- LEHNER, G., Electromagnetic Field Theory for Engineers and Physicists, Springer-Verlag, 2010.